Herramienta 01
Comparador de métodos
Cinco métodos, cinco ecuaciones, una misma pregunta: ¿dónde cruza la función el cero y cuánto cuesta llegar? Todas las cifras de esta página se recalculan al cargarla — ninguna está transcrita a mano.
Datos de entrada
Una sola ecuación y un solo juego de parámetros para los cinco métodos. Cada uno toma lo que necesita.
+ - * / ^ · funciones exp ln log sqrt abs sin cos tan · constantes e pi
- Bisección · Falsa posición[a, b]
- Secantea y b como x−1, x0
- Newton-Raphsonx0 y f′(x)
- Punto fijox0 y g(x)
Ajustar cada método por separado
Para cuando los métodos no comparten ecuación — como en las tareas del curso, donde cada problema tiene la suya.
Curva de convergencia
Error relativo porcentual εa por iteración, en escala logarítmica. Cuanto más inclinada la caída, mayor el orden de convergencia.
El anillo marca la iteración en la que cada método cumplió su criterio de parada; el punto que sigue es la iteración de confirmación. Bisección y falsa posición se detienen en cuanto lo cumplen, así que su curva termina en el anillo.
Resultados
Verificación
De dónde salen estas cifras y qué se corrigió por el camino.
Fase de aislamiento
Explorador de raíces
Antes de iterar hay que saber dónde mirar. Tabula f(x) sobre un rango, marca dónde cambia de signo y pasa el intervalo al comparador.
Rango de búsqueda
+ - * / ^ · funciones exp ln log sqrt abs sin cos tan · constantes e pi
Tabla de signos
Herramienta 03
Fórmulas y criterios
La ficha de referencia: qué calcula cada método, cuándo tiene derecho a converger y cuándo se le permite parar.
Criterio de parada
se detiene cuando εa < εs
El criterio no mide el error real (la raíz exacta es desconocida), sino cuánto se movió la estimación entre dos pasos. Por eso siempre falta la primera fila: sin un valor anterior no hay diferencia que medir.
Las tareas de la semana 2 usan εs = 0.5 % → 2 cifras significativas. La semana 3 usa εs = 0.01 %, entre 3 y 4 cifras.
Métodos cerrados Bracketing
Encierran la raíz entre dos extremos y estrechan el intervalo. Exigen f(xL) · f(xU) < 0 y a cambio siempre convergen.
Métodos abiertos Open
Arrancan de uno o dos valores sin encerrar la raíz. Son más rápidos, pero pueden diverger.
Orden de convergencia
Con orden p, el error nuevo es proporcional al error anterior elevado a p. Orden 2 (Newton) duplica aproximadamente las cifras correctas en cada paso; orden 1 (bisección, punto fijo) las gana de forma constante y lenta.
Tarea 2 · Sesión 2
Métodos cerrados
Bisección y falsa posición sobre intervalos con cambio de signo, con tolerancia εs = 0.5 %.
Guía de Aprendizaje Autónomo · Sesión 3
Métodos abiertos
Punto fijo, Newton-Raphson y secante, con tolerancia εs = 0.01 %.
Sesión 4 · Raíces de polinomios
Análisis de un polinomio
Cuatro pasos antes de iterar a ciegas: dónde pueden estar las raíces, cuántas hay de cada signo, cuáles salen exactas por división sintética, y las que quedan —incluidas las complejas— con el método de Müller.
El polinomio
x^4 + x^3 - 3x^2 - x + 2) o solo los coeficientes de mayor a menor grado (1, 1, -3, -1, 2).